วงจรอนุพันธ์อันดับสอง

วงจรอนุพันธ์อันดับสอง

วงจรอนุพันธ์อันดับสอง คือวงจรที่สามารถอธิบายและเขียนสมการแบบจําลองได้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ อันดับสอง (A second-order differential equation) หรือวงจร RLC นั่นเอง

ลักษณะของสมการอนุพันธ์อันดับสองเป็นดังนี้

เมื่อ

x   คือผลตอบสนองของวงจร (แรงดันหรือกระแส)

a  ₁ และ a  ₀ คือค่าคงที่ใดๆ

Q   คือฟังก์ชันใดๆ

วงจรอนุกรม RLC ที่ไม่มีแหล่งจ่าย

รูปที่ 8.1 วงจรอนุกรม RLC ที่ไม่มีแหล่งจ่าย
KVL : 


แต่  จะได้สมการข้างต้นเป็น


จะพบว่าสมการที่ได้เป็นสมการอนุพันธ์อันดับสอง ดังนั้นวงจร RLC ข้างต้นจึงเป็นวงจรอนุพันธ์อันดับสอง

---

วงจรอนุกรม RLC ที่มีแหล่งจ่ายสัญญาณขั้นบันได

รูปที่ 8.2 วงจรอนุกรม RLC ที่มีแหล่งจ่ายสัญญาณขั้นบันได
KVL ที่เวลา t > 0 : 


แต่  จะได้สมการข้างต้นเป็น


จะพบว่าสมการที่ได้เป็นสมการอนุพันธ์อันดับสอง ดังนั้นวงจร RLC ข้างต้นจึงเป็นวงจรอนุพันธ์อันดับสอง

วงจรขนาน RLC ที่ไม่มีแหล่งจ่าย

รูปที่ 8.3 วงจรขนาน RLC ที่ไม่มีแหล่งจ่าย
KCL : 


แต่  จะได้สมการข้างต้นเป็น


จะพบว่าสมการที่ได้เป็นสมการอนุพันธ์อันดับสอง ดังนั้นวงจร RLC ข้างต้นจึงเป็นวงจรอนุพันธ์อันดับสอง

---

วงจรขนาน RLC ที่มีแหล่งจ่ายสัญญาณขั้นบันได

รูปที่ 8.4 วงจรขนาน RLC ที่มีแหล่งจ่ายสัญญาณขั้นบันได
KCL ที่เวลา t > 0 : 


แต่  จะได้สมการข้างต้นเป็น


จะพบว่าสมการที่ได้เป็นสมการอนุพันธ์อันดับสอง ดังนั้นวงจร RLC ข้างต้นจึงเป็นวงจรอนุพันธ์อันดับสอง

วงจรอนุพันธ์อันดับสองทั่วไป

รูปที่ 8.5 วงจรอนุพันธ์อันดับสอง

วงจรดังรูป 8.5 เป็นวงจรที่พิจารณาที่เวลา t > 0 กำหนดให้  และ 

ทำการวิเคราะห์ด้วยวิธีโนด :

KCL :

แต่  จะได้

จัดรูปได้

จะพบว่าสมการที่ได้เป็นสมการอนุพันธ์อันดับสอง ดังนั้นวงจรข้างต้นจึงเป็นวงจรอนุพันธ์อันดับสอง

การแก้สมการอนุพันธ์อันดับสองเบื้องต้น

เมื่อแก้สมการอนุพันธ์ข้างต้นจะได้
 ................ (สมการ A)

ค่า A ₁ แล ะA ₂ สามารถหาได้จากค่าเงื่อนไขเริ่มต้นคือ 

 ................ (สมการ B)

จาก  จะได้


ทำการหาอนุพันธ์ของผลตอบสนองกระแสที่ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำจาก (สมการ A)

แทนค่าเงื่อนไขเริ่มต้นของอนุพันธ์ของกระแส

 ................ (สมการ C)

แก้ (สมการ B) และ (สมการ C) จะได้

นั่นคือ