วงจรเชิงเส้น (Linear Circuits)

วงจรเชิงเส้น (Linear Circuits)

ความเป็นเชิงเส้นของอุปกรณ์เชิงเส้นใดๆก็คืออุปกรณ์นั้นสามารถอธิบายได้ด้วยความสัมพันธ์ ที่เป็นเชิงเส้นของอินพุตและเอาต์พุตของอุปกรณ์นั้น พิจารณาความสัมพันธ์ตามกฎของโอห์มของตัวต้านทาน โดยมีกระแสไฟฟ้าเป็นอินพุตและมีแรงดันเป็นเอาต์พุตจะได้

การที่จะบอกได้ว่าความสัมพันธ์ใดเป็นความสัมพันธ์แบบเชิงเส้นนั้น ความสัมพันธ์นั้นจะต้องมีคุณสมบัติสองประการคือ

- คุณสมบัติการสเกล (Scaling property)

- คุณสมบัติการบวก (Additivity property)

คุณสมบัติการสเกล

รูปที่ 4.1 คุณสมบัติการสเกล

คือคุณสมบัติที่อินพุตถูกคูณด้วยค่าคงที่ เอาต์พุตจะถูกคูณด้วยค่าคงที่นั้นด้วย พิจารณาตัวต้านทานถ้ากระแสไฟฟ้ามีค่าเพิ่มขึ้นเป็น k เท่าจะได้แรงดันที่เอาต์พุตคือ

ดังนั้นสมการตามกฎของโอห์มมีคุณสมบัติการสเกล

คุณสมบัติการบวก

รูปที่ 4.2 คุณสมบัติการบวก

คือคุณสมบัติที่ผลตอบสนอง(เอาต์พุต)ที่เกิดจากอินพุตแต่ละตัวรวมกัน จะมีค่าเท่ากับผลรวมของผลตอบสนองที่เกิดจากแต่ละอินพุต

ดังนั้นสมการตามกฎของโอห์มมีคุณสมบัติการบวก

พบว่าสมการตามกฎของโอห์มมีคุณสมบัติการสเกลและการบวก จึงสรุปได้ว่าสมการตามกฎของโอห์มเป็นสมการเชิงเส้น และตัวต้านทานเป็นอุปกรณ์เชิงเส้น เนื่องจากตัวต้านทานสามารถอธิบายได้ด้วยสมการเชิงเส้น


"อุปกรณ์เชิงเส้น คืออุปกรณ์ที่สามารถอธิบายได้ด้วยสมการเชิงเส้น"

วงจรใดๆที่ประกอบด้วยอุปกรณ์เชิงเส้น แหล่งจ่ายแบบไม่อิสระที่เป็นเชิงเส้นและแหล่งจ่ายแบบอิสระ วงจรนั้นก็จะมีความสัมพันธ์ระหว่างอินพุตและเอาต์พุตของวงจรเป็นเชิงเส้นด้วย เราเรียกวงจรแบบนี้ว่าวงจรเชิงเส้น (Linear circuit)


"วงจรเชิงเส้น คือวงจรที่มีความสัมพันธ์ระหว่างอินพุตและเอาต์พุตเป็นแบบเชิงเส้น"
รูปที่ 4.3 วงจรเชิงเส้นที่มีอินพุตเป็นแรงดันและมีเอาต์พุตเป็นกระแส

พิจารณาวงจรในรูปที่ 4.3 ซึ่งเป็นวงจรเชิงเส้นที่มีอินพุตเป็นแรงดัน  และมีเอาต์พุตเป็นกระแส สมมติว่าแรงดัน  มีค่าเป็น 10V จะมีกระแส  เป็น 2A โดยอาศัยหลักของความสัมพันธ์ที่เป็นเชิงเส้นถ้าเปลี่ยนแรงดัน  ลดลง 10 เท่า เป็น 1V จะได้ค่ากระแส  ลดลง 10 เท่าด้วยเป็น 0.2A หรือในทางกลับกันถ้าต้องการกระแส  เป็น 1mA ต้องเปลี่ยนแรงดัน  เป็น 5mV เป็นต้น 

ทฤษฎีการทับซ้อน (Superposition)

หลักการทับซ้อนกล่าวว่าผลตอบสนองของวงจร (แรงดันหรือกระแส) ของวงจรเชิงเส้นใดๆ เกิดจากผลรวมทางพีชคณิตของผลตอบสนองที่เกิดจากแหล่งจ่ายอิสระแต่ละตัว โดยเมื่อคิดผลตอบสนองของวงจรซึ่งเกิดจากแหล่งจ่ายอิสระตัวหนึ่ง เราต้องให้แหล่งจ่ายอิสระตัวอื่นๆในวงจรมีค่าเท่ากับศูนย์ หรือก็คือกำจัดแหล่งจ่ายนั้นออกจากวงจร ถ้าเป็นแหล่งจ่ายกระแสเมื่อเราให้มีค่าเป็นศูนย์แอมป์แปร์ก็คือไม่มีกระแสไหลก็เปรียบเสมือนเปิดวงจร (open circuit) แต่ถ้าเป็นแหล่งจ่ายแรงดันที่มีค่าเป็นศูนย์โวลต์ก็เปรียบเสมือนกับการลัดวงจร (short circuit) นั่นเอง

รูปที่ 4.4 การกำจัดแหล่งจ่ายอิสระ

ตัวอย่างการใช้ทฤษฎีการทับซ้อน

พิจารณาวงจรรูปที่ 4.5 เป็นวงจรที่มีแหล่งจ่ายอิสระสองตัวคือแหล่งจ่ายแรงดันหนึ่งตัว และแหล่งจ่ายกระแสหนึ่งตัว ให้หาค่ากระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทาน 4 โอห์มโดยใช้ทฤษฎีการทับซ้อน

รูปที่ 4.5 วงจรที่มีแหล่งจ่ายอิสระสองตัว

เมื่อหาค่ากระแสที่เป็นผลมาจากแหล่งจ่ายแรงดันก็ทำการกำจัดแหล่งจ่ายกระแสออกไป โดยการเปิดวงจรจะได้วงจรดังรูปที่ 4.6

รูปที่ 4.6 วงจรรูปที่ 4.5 เมื่อกำจัดแหล่งจ่ายกระแส

จะได้กระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทาน 4 โอห์มที่เกิดจากแหล่งจ่ายแรงดันเป็น

เมื่อหาค่ากระแสที่เป็นผลมาจากแหล่งจ่ายกระแสก็ทำการกำจัดแหล่งจ่ายแรงดันออกไป โดยการลัดวงจรจะได้วงจรดังรูปที่ 4.7

รูปที่ 4.7 วงจรรูปที่ 4.5 เมื่อกำจัดแหล่งจ่ายแรงดัน

จะได้กระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทาน 4 โอห์มที่เกิดจากแหล่งจ่ายกระแสเป็น

ดังนั้นจะได้กระแสรวมที่ไหลผ่านตัวต้านทาน 4 โอห์มที่เกิดจากแหล่งจ่ายทั้งสอง คือผลรวมของกระแสที่เกิดจากแหล่งจ่ายแต่ละตัว คือ

ขั้นตอนการหาผลตอบสนองของวงจรโดยอาศัยหลักการทับซ้อน

กำจัดแหล่งจ่ายอิสระทุกตัวในวงจรให้เหลือแหล่งจ่ายอิสระไว้เพียงตัวเดียว โดยการกำจัดแหล่งจ่ายแรงดันอิสระทำได้โดยการลัดวงจร ส่วนการกำจัดแหล่งจ่ายกระแสอิสระทำได้โดยการเปิดวงจร จากนั้นจึงหาค่าผลตอบสนอง (กระแสหรือแรงดัน) ที่เกิดจากแหล่งจ่ายตัวนั้น ทำซ้ำขั้นตอนที่ 1 โดยเปลี่ยนไปหาผลตอบสนองที่เกิดจากแหล่งจ่ายอิสระตัวอื่นจนครบทุกตัว หาผลรวม(ทางพีชคณิต)ของผลตอบสนองที่เกิดจากแหล่งจ่ายอิสระแต่ละตัว

ทฤษฎีบทของเทวินินและนอร์ตัน (Thevenin & Norton's Theorems)

วงจรเชิงเส้นใดๆจะสามารถทำการเปลี่ยนเป็นวงจรสมมูลที่ง่ายต่อการวิเคราะห์วงจรมากขึ้น โดยประกอบด้วยแหล่งจ่ายแรงดันอนุกรมกับตัวต้านทาน ที่เรียกว่าวงจรสมมูลของเทวินิน (Thevenin's equivalent circuit) ดังรูปที่ 4.9(a) หรือวงจรที่ประกอบด้วยแหล่งจ่ายกระแสขนานกับตัวต้านทาน ที่เรียกว่าวงจรสมมูลของนอร์ตัน (Norton's equivalent circuit) ดังรูปที่ 4.9(b) รูปที่ 4.8 วงจรเชิงเส้นใดๆที่จะทำการแปลงเป็นวงจรสมมูล โดย    คือแรงดันขณะที่กระแส i   = 0A    คือกระแสขณะที่แรงดัน v   = 0V    คือความต้านทานที่มองเข้าไปในในวงจร ขณะที่กำจัดแหล่งจ่ายอิสระทุกตัว ค่าทั้งสามนี้มีความสัมพันธ์กันคือ

Leon Charles Thevenin French engineer.(1857–1926) Edward Lawry Norton American engineer.(1898-1983)

รูปที่ 4.9 วงจรสมมูลของเทวินินและนอร์ตัน



รูปที่ 4.10 การหาค่าต่างๆในวงจรสมมูล

ตัวอย่างการหาวงจรสมมูลของเทวินินและนอร์ตัน

รูปที่ 4.11 วงจรตัวอย่างการหาวงจรสมมูลของเทวินินและนอร์ตัน

แรงดัน  หาได้โดยวัดแรงดันที่ตกคร่อมขั้ว a-b

กระแส  หาได้โดยลัดวงจรที่ขั้ว a-b และวัดกระแสที่ไหลผ่านจากขั้ว a ไปยังขั้ว b นี้

ตัวต้านทาน  หาได้โดยการกำจัดแหล่งจ่ายอิสระทั้งหมด ในที่นี้มีแหล่งจ่ายแรงดันจึงกำจัดโดยการลัดวงจร และหาความต้านทานรวมที่ได้ที่ขั้ว a-b

ได้วงจรสมมูลของเทวินินและวงจรสมมูลของนอร์ตันของวงจรรูป 4.11 ดังรูปที่ 4.12

รูปที่ 4.11 วงจรสมมูลของเทวินินและวงจรสมมูลของนอร์ตันของวงจรรูป 4.11