Elec-Bannok: วงจรอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

วงจรอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

เราจะนิยามว่าวงจรอนุพันธ์อันดับหนึ่งคือวงจรที่มีสามารถอธิบายได้ด้วยสมการอนุพันธ์อันดับหนึ่ง (A first-order differential equation) ลักษณะของสมการอนุพันธ์อันดับหนึ่งเป็นดังนี้

เมื่อ

y คือผลตอบสนองของวงจร (แรงดันหรือกระแส)

P และ Q คือฟังก์ชันใดๆ

วงจร RC ที่ไม่มีแหล่งจ่าย

วงจร RC ดังรูปที่ 7.1 สมมติว่าณ.เวลาที่ t=0 วินาที เป็นเวลาที่เราเริ่มพิจารณาวงจร กำหนดให้มีประจุสะสมอยู่ที่ตัวเก็บประจุอยู่ค่าค่าหนึ่ง ซึ่งส่งผลให้มีแรงดันตกคร่อมตัวเก็บประจุอยู่เท่ากับ

นั่นหมายถึงมีพลังงานที่สะสมที่ตัวเก็บประจุที่เวลา t=0 วินาทีเท่ากับ

รูปที่ 7.1 วงจร RC ที่ไม่มีแหล่งจ่าย

KCL :

แทนค่ากระแสที่ไหลผ่านตัวเก็บประจุและตัวต้านทาน

จัดรูปใหม่ได้

จะพบว่าสมการที่ได้เป็นสมการอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ดังนั้นวงจร RC ข้างต้นจึงเป็นวงจรอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

การแก้สมการอนุพันธ์อันดับหนึ่งเบื้องต้น

เมื่อแก้สมการอนุพันธ์ข้างต้นจะได้

ค่า A สามารถหาได้จากค่าเงื่อนไขเริ่มต้นคือ

นั่นคือ

ตอบสนองแรงดันของวงจร RC แบบไม่มีแหล่งจ่ายจะมีลักษณะเป็นสมการเอ็กโปเนเเชียลแบบถดถอย ซึ่งผลตอบสนองของวงจรจะขึ้นอยู่กับพลังงานที่เกิดจากค่าเริ่มต้นที่เก็บไว้และมีค่าลดลงจนกระทั่งหายไป จะพบว่าผลตอบสนองของวงจรไม่ได้เกี่ยวข้องกับค่าของแหล่งจ่ายใดๆเลย ดังนั้นเราจะเรียกผลตอบสนองแบบนี้ว่า ผลตอบสนองธรรมชาติ (Natural response)

ผลตอบสนองแรงดันที่ตกคร่อมตัวเก็บประจุ สามารถวาดกราฟผลตอบสนองได้ดังรูป

รูปที่ 7.2 ผลตอบสนองของวงจร RC ที่ไม่มีแหล่งจ่าย

ที่เวลา t=0 แรงดันจะมีค่าเท่ากับค่าเริ่มต้นที่ได้จากสมการ

เมื่อเวลาเพิ่มขึ้นค่าของแรงดันจะมีค่าลดลงจนกระทั่งมีค่าเป็น 0 การลดลงอย่างรวดเร็วของค่าแรงดัน สามารถแสดงในแบบค่าเวลาคงตัวของวงจร (Time constant) โดยใช้สัญลักษณ์เป็น

โดยกำหนดให้ค่าเวลาคงตัวของวงจรก็คือเวลาที่ผลตอบสนองมีค่าลดลงเท่ากับ 1/e หรือ 0.368 เท่าของค่าเริ่มต้น (e = 2.71828182845904523536028747135266 . . . )

สำหรับวงจร RC ที่ไม่มีแหล่งจ่ายข้างต้น

ค่าพลังงานที่ได้ตัวต้านทานได้รับที่เวลา t ใดๆ หาได้จาก

เมื่อเวลาเข้าใกล้อนันต์จะได้ว่า

นั่นคือพลังงานที่สะสมที่ตัวเก็บประจุที่เวลา t=0 จะถูกใช้ไปที่ตัวต้านทานหมดเมื่อเวลาผ่านไปเป็นเวลานาน

วงจร RL ที่ไม่มีแหล่งจ่าย

วงจร RL ดังรูปที่ 7.3 สมมติว่าณ.เวลาที่ t=0 วินาที เป็นเวลาที่เราเริ่มพิจารณาวงจร กำหนดให้มีพลังงานสะสมอยู่ที่เหนี่ยวนำอยู่ค่าค่าหนึ่ง ซึ่งส่งผลให้มีกระแสไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำเท่ากับ

นั่นหมายถึงมีพลังงานที่สะสมที่ตัวเหนี่ยวนำที่เวลา t=0 วินาทีเท่ากับ

รูปที่ 7.3 วงจร RL ที่ไม่มีแหล่งจ่าย
KVL :

แทนค่าแรงดันที่ตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำและตัวต้านทาน

จัดรูปใหม่ได้

จะพบว่าสมการที่ได้เป็นสมการอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ดังนั้นวงจร RL ข้างต้นจึงเป็นวงจรอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
เมื่อแก้สมการอนุพันธ์ข้างต้นจะได้

ค่า A สามารถหาได้จากค่าเงื่อนไขเริ่มต้นคือ

นั่นคือ

จะได้ผลตอบสนองแรงดันของวงจร RL แบบไม่มีแหล่งจ่ายจะมีลักษณะเดียวกับวงจร RC เป็นสมการเอ็กโปเนเเชียลแบบถดถอย ซึ่งผลตอบสนองของวงจรจะขึ้นอยู่กับพลังงาน ที่เกิดจากค่าเริ่มต้นที่เก็บไว้ที่ตัวเหนี่ยวนำและมีค่าลดลงจนกระทั่งหายไปดังรูป

รูปที่ 7.4 ผลตอบสนองของวงจร RL ที่ไม่มีแหล่งจ่าย

สำหรับวงจร RL ที่ไม่มีแหล่งจ่ายข้างต้นจะมีค่าเวลาคงตัวเป็น

ค่าพลังงานที่ได้ตัวต้านทานได้รับที่เวลา t ใดๆ หาได้จาก

เมื่อเวลาเข้าใกล้อนันต์จะได้ว่า

นั่นคือพลังงานที่สะสมที่ตัวเหนี่ยวนำที่เวลา t=0 จะถูกใช้ไปที่ตัวต้านทานหมดเมื่อเวลาผ่านไปเป็นเวลานาน

ฟังก์ชันขั้นบันไดหนึ่งหน่วย (Unit step function)

ฟังก์ชันนี้จะมีค่าเป็น 1 เมื่อเวลาเป็นบวก และจะมีค่าเป็น 0 เมื่อเวลาเป็นลบเขียนเป็นสมการได้ดังนี้

รูปที่ 7.5 ฟังก์ชันขั้นบันไดหนึ่งหน่วย

ฟังก์ชันขั้นบันไดหนึ่งหน่วยจะไม่ถูกนิยามที่เวลา t=0 ซึ่งมีการเปลี่ยนแปลงของขนาดจาก 0 เป็น 1 อย่างทันทีทันใดดังแสดงในรูป และเมื่อฟังก์ชันมีการเปลี่ยนแปลงอย่างทันทีทันใดที่เวลา t₀ ค่าของฟังก์ชันขั้นบันไดหนึ่งหน่วยจะกลายเป็น

รูปที่ 7.6 ฟังก์ชันขั้นบันไดหนึ่งหน่วยที่เลื่อนไปเท่ากับ t₀

โดยทั่วไปจะใช้ฟังก์ชันขั้นบันไดหนึ่งหน่วยแสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วของค่าแรงดันหรือค่ากระแส เหมือนกับการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นในวงจรระบบควบคุม และวงจรดิจิตอล ถ้าค่าแรงดันที่เกิดขึ้นเป็น

สามารถเขียนในรูปแบบฟังก์ชันขั้นบันไดหนึ่งหน่วยได้เป็น

รูปที่ 7.7 แรงดันที่มีการเปลี่ยนแปลงอย่างทันทีทันใดที่เวลา t₀

หากให้ค่า t₀ = 0 จะได้ค่า

ดังแสดงในรูปที่ 7.8(a) และสามารถเขียนเป็นวงจรสมมูลที่ใช้สวิตช์ดังแสดงในรูปที่ 7.8(b) ที่เวลา t < 0 สวิตช์จะลัดวงจรที่ขั้ว a-b นั่นคือ

และเมื่อเวลา t > 0 สวิตช์จะเชื่อมต่อที่แหล่งจ่ายแรงดัน ดังนั้น

รูปที่ 7.8 แหล่งจ่ายแรงดันแบบขั้นบันได

ในทำนองเดียวกันเราสามารถแทนวงจรสมมูลในลักษณะเดียวกันกับแหล่งจ่ายกระแส ที่เป็นฟังก์ชันขั้นบันไดดังรูปที่ 7.9

รูปที่ 7.9 แหล่งจ่ายกระแสแบบขั้นบันได

ผลตอบสนองของวงจร RC ต่อสัญญาณขั้นบันได

ถ้าแหล่งจ่ายไฟแบบไฟตรงจ่ายให้กับวงจร RC อย่างทันทีทันใด เราสามารถจำลองแหล่งจ่ายนั้นๆ(กระแสหรือแรงดัน) เป็นลักษณะฟังก์ชันขั้นบันไดได้ ดังนั้นผลตอบสนองที่เกิดขึ้นจึงถูกเรียกว่า ผลตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

รูปที่ 7.10 วงจร RC ที่มีแหล่งจ่าย

วงจรในรูปที่ 7.10(a) สามารถแทนได้ด้วย 7.10(b) สมมติว่าค่าแรงดันเริ่มต้นของตัวเก็บประจุเท่ากับ

เนื่องจากค่าแรงดันที่ตัวเก็บประจุไม่สามารถเปลี่ยนได้ในทันทีทันใดดังนั้น

โดย

เป็นค่าแรงดันที่ตัวเก็บประจุที่เวลาก่อนที่สวิตช์จะปิดวงจร

เป็นค่าแรงดันที่ตัวเก็บประจุหลังจากสวิตช์ปิดวงจร

ใช้วิธีโนดวิเคราะห์วงจรรูปที่ 7.10(b) จะได้

ที่เวลา t > 0 จะได้

เมื่อแก้สมการอนุพันธ์ข้างต้นจะได้ผลตอบสนองธรรมชาติ

และผลตอบสนองบังคับ

นั่นคือผลตอบสนองรวมเป็น

แทนค่าเงื่อนไขเริ่มต้นได้

จะได้แรงดันที่ตกคร่อมตัวเก็บประจุเป็น

ผลตอบสนองทางธรรมชาติ (Natural response) เป็นผลตอบสนองของวงจรที่เกิดจากพลังงานที่สะสมในวงจร ที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำ

ผลตอบสนองบังคับ (Force response) ซึ่งเป็นผลตอบสนองของวงจรที่เกิดจากแหล่งจ่ายพลังงานที่ป้อนเข้าสู่วงจร

รูปที่ 7.11 ผลตอบสนองของวงจร RC ที่มีแหล่งจ่าย

ผลตอบสนองของวงจร RL ต่อสัญญาณขั้นบันได

ถ้าแหล่งจ่ายไฟแบบไฟตรงจ่ายให้กับวงจร RL อย่างทันทีทันใด เราสามารถจำลองแหล่งจ่ายนั้นๆ(กระแสหรือแรงดัน) เป็นลักษณะฟังก์ชันขั้นบันไดได้ ดังนั้นผลตอบสนองที่เกิดขึ้นจึงถูกเรียกว่า ผลตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได